5.16. Неравенство треугольника
Деятельность Линейка, палочки

1. Начертите произвольный треугольник АВС. Запишите длину его сторон, измерив их линейкой.
2. Сравните нижеприведённое:
   a) AB + AC и BC; б) AB + BC и AC; в) AC + BC и AB.
3. Какой результат вы получили? Выскажите свои мысли.
4. Возьмите палочки длиной 6 см, 4 см, 3 см и 2 см. положите на стол палочку длиной 6 см. Используя другие две палочки, постарайтесь построить треугольник. В каком случае треугольник получился? Почему?

Теорема Неравенство треугольника
Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон, но больше их разности.

Условие теоремы: АВС - треугольник (рис. 1).
Утверждение теоремы: AB < AC + BC и AB > BC - AC
Доказательство теоремы: Отложим отрезок CD, равный стороне СВ, на луче, противоположном лучу СА (рисунок 2). Поскольку треугольник BCD - равнобедренный, 1 = 2.
ABD > 1 и ABD > 2. Из неравенства ABD > 2 получается, что
AB < AD и из-за того, что AD = AC + CD = AC + BC
следует AB < AC + BC.
Итог: В ΔABC AB < AC + BC, AC < AB + BC и BC < AC + AB. Из последнего следует AB > BC - AC.
Теорема доказана.

Образец

Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 6 см, 12 см, 5 см; б) 3,5 см, 5,4 см, 7 см; в) 3 см, 8 см, 5 см?

Решение:

Проверим во всех трёх случаях соблюдение/несоблюдение неравенства треугольника: из этих отрезков треугольник получится в том случае, если сумма двух меньших отрезков будет больше третьего отрезка:
a) 6 + 5 < 12, поскольку в первом случае сумма двух меньших отрезков меньше длины третьего отрезка, эти отрезки не могут быть сторонами какого-либо треугольника.
б) Поскольку 3,5 + 5,4 > 7, эти отрезки могут быть сторонами треугольника.
в) Поскольку 3 + 5 = 8, эти отрезки не могут быть сторонами треугольника.

Примечание.

Чтобы проверить соблюдение неравенства треугольника, достаточно проверить то, что сумма двух меньших сторон больше наибольшей третьей стороны.