4.10. Аксиома параллельности. Свойства параллельных прямых
Деятельность

1. Начертите прямую АВ и пересекающую ее прямую с. Отметьте точку М, не лежащую на этих прямых.

2. Расположите угольник и линейку так, как показано на рисунке.

3. Передвиньте угольник по прямой с таким образом, чтобы точка М располагалась относительно линейки, как показано на рисунке. Начертите прямую а, проходящую через точку М.
4. Как можно обосновать параллельность прямых АВ и а? Как называются углы 1 и 2, показанные на рисунке? Равны ли они?

Аксиома параллельности: Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельную этой прямой.

Теорема Свойство углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
Условие теоремы: AB || CD и AC секущая.
Утверждение теоремы:

Доказательство: Предположим обратное. Допустим, что Возьмём такую точку М, чтобы (согласно аксиоме откладывания углов).
Тогда по свойству параллельности прямых АМ || СD. Но согласно условию АВ || СD.
Следовательно, из точки А к прямой СD проведены две разные параллельные прямые. А это невозможно по аксиоме параллельности. Итак, обратное предположение неверно. При условии АВ || СD внутренние накрест лежащие углы равны. Теорема доказана.