5.15. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Деятельность

1. Начертите равнобедренный треугольник АВС: АВ = АС.
2. Какой угол лежит напротив стороны АВ? А какой угол лежит напротив стороны АС?
3. Что вы можете сказать о градусной мере B и C?
4. Объясните утверждение для равнобедренного треугольника: «В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы».
5. Начертите треугольник с разными сторонами. Измерив длину сторон этого треугольника линейкой, а градусную меру углов - транспортиром, запишите их порядке возрастания. Какой результат вы получили? Объясните свой ответ.

Теорема Соотношения между сторонами и углами треугольника
В треугольнике:

1) напротив большей стороны лежит больший угол;
2) напротив большего угла лежит большая сторона.

Условие теоремы: 1) ΔABC AB > AC (рис. 1).
Утверждение теоремы: ACB > ABC.

Доказательство теоремы: На стороне АВ треугольника отметим точку D так, чтобы AD = АС (рис. 2). Полученный треугольник ADC - равнобедренный, следовательно, 1 = 2. Точка D располагается между точками А и В. Следовательно, луч CD - внутренний луч угла АСВ. Тогда ACB > 1. 2 - внешний угол треугольника BCD, следовательно, 2 > ABC.
Таким образом, получим ACB > 1= 2 > ABC. Отсюда ACB > ABC.
Первая часть теоремы доказана.
Докажем вторую часть теоремы:
Условие теоремы: 2) В ΔABC ACB > ABC.
Утверждение теоремы: AB > AC (рис. 1).
Доказательство теоремы: Предположим обратное: допустим, что АВ = АС. Тогда треугольник АВС - равнобедренный и
ACB = ABC. А это противоречит условию теоремы. Следовательно, АВ не может быть равно АС.
Теперь предположим, что AB < AC. Согласно первому условию теоремы напротив большей стороны треугольника лежит больший угол. То есть из того, чтобы АВ < АС, следует ACB < ABC. А это противоречит второму условию теоремы. Следовательно, АВ > АС.
Вторая часть теоремы доказана.
Итог: Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным (почему?).