3.11. Тождество. Тождественные преобразования
Деятельность

Докажите верность равенства (a – 8)(b + 3) –1 = ab – 8b + 3a – 25.

1. Найдите произведение двучленов с левой стороны равенства. Полученный многочлен приведите в стандартный вид. Какой многочлен вы получили?

2. Вынесите за скобки общий множитель выражения ab – 8b с правой стороны равенства. Какое преобразование необходимо произвести в выражении 3a – 25 для разложения его на множители? Можно ли вместо одночлена -25 записать -24 - 1?

3. Есть ли общий множитель в полученных двучленах (ab – 8b) и (3a – 24) Для чего необходимо добавить в эти выражения число - 1?

4. Удалось ли доказать верность равенства? Выскажите своё мнение о равенстве.

Равенство, содержащее переменную, верное при любых допустимых значениях переменной, называется тождеством.

Для того, чтобы доказать тождество, следует выражение с левой стороны преобразовать в выражение с правой стороны или выражение с правой стороны преобразовать в выражение с левой стороны, или показать, что выражения с обеих сторон тождественны равны одному и тому же выражению.

Преобразование одного выражения в тождественно равное ему выражение называется тождественным преобразованием. При любых допустимых значениях переменной выражения с соответственно равными значениями называются тождественно равными выражениями.

Образец

Докажите тождество (x + 5)(x – 4) + 12 = (x – 1) (x + 2) – 6.

Решение:

Чтобы доказать тождество, следует показать, что обе стороны равенства тождественны одному и тому же выражению:

Левая сторона: (x + 5)(x – 4) + 12 = x2 – 4x + 5x – 20 + 12 = x2 + x – 8

Правая сторона: (x – 1) (x + 2) – 6 = x2 + 2x – x - 2 – 6 = x2 + x – 8 + x2 + 2x - x - 2 - 6 = x2 + x - 8

Поскольку обе стороны равны одному и тому же выражению, данное равенство является тождеством.

Упражнения

1. Керим утверждает, что равенство 21c (a – b) = – 21c(b – a) является тождеством. Как по-вашему, прав ли он? Почему? Как вы можете это объяснить, не раскрывая скобок?

2. 1. Свойства перестановки и группировки слагаемых запишите в виде буквенных выражений. Докажите их тождественность,
   2. Свойства перестановки и группировки множителей запишите в виде буквенных выражений. Тождественны ли они?