Деятельность

Свойства равнобедренного треугольника:

1. АВС - равнобедренный треугольник: АВ = ВС (рис. 4).
2. Начертите медиану BD. Что вы можете сказать о треугольниках ABD и CBD? О конгруэтности каких сторон и углов этих треугольников можно утверждать? Почему?
3. Можно ли утверждать, что углы ABD и DBC конгруэтны? В этом случае чем еще является медиана BD в треугольнике?
4. Можно ли утверждать, что углы ADB и BDC смежные и конгруэтные углы? В этом случае чем еще является медиана BD?

Теорема Свойство медианы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника

Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его биссектрисой и высотой.

Условие теоремы: ΔABC равнобедренный. АВ = ВС. ВD - медиана (рис. 4).
Доказательство теоремы: Медиана BD делит треугольник АВС на два треугольника ABD и CBD. В силу равнобедренности треугольника ABC AB ≅ BC и ∠BAD ≅ ∠BCD, по определению медианы AD ≅ DC. Значит, по I признаку конгруэнтности треугольников ∠ABD ≅ ∠CBD, то есть BD - биссектриса (вспомни определение биссектрисы). В то же время в силу конгруэнтности треугольников и свойств смежных углов ∠ABD ≅ ∠CBD = 90°; что означает BD является высотой (вспомни определение высоты треугольника).
Итак, показали, что медиана проведённая к основанию равнобедренного треугольника является также биссектрисой и высотой. Теорема доказана.

Упражнения

1. Треугольник МNК - равнобедренный (рис. 5). Укажите его конгруэнтные стороны и углы.

2. Проведена биссектриса равнобедренного треугольника (рисунок 6). Укажите полученные конгруэнтные отрезки и конгруэнтные углы.

3. Назовите треугольник на рисунке (рис. 7), укажите его основание, боковые стороны, угол при вершине и углы, прилежащие к основанию.