5.2. Линейная функция и её график
Деятельность y = kx + b

1. Какие значения может принять х в функции, заданной формуло y = – 3x + 2? Что можно сказать о значениях, которые примету y?
2. Определите значения у при заданных значениях х и запишите в таблицу.
3. Постройте прямоугольную систему координат. Отметьте в системе координат точки, соответствующие координатам, данным в таблице. Полученные точки последовательно соедините линией. Какую фигуру вы получили? Достаточно ли знать координаты только двух точек, чтобы построить этот график? Почему? Обоснуйте свой ответ.

Образец

1. Построим график функции y = 2x + 1.
2. Определите у, задав несколько значений х. Разместите в таблице значения аргумента (х) и функции (у).

Отметим в прямоугольной системе координат точки, соответствующие заданной паре координат. Полученные точки последовательно соединим. Полученный график - прямая. Эта прямая образует с положительным направлением оси Ох острый угол (рис. 1).

Примечание. Поскольку через две точки можно провести только одну прямую, при составлении таблицы достаточно задать два значения х.

Функция, заданная формулой y = kx + b, k и b - заданные числа, называется линейной функцией. При b = 0, у = кх, это - формула прямо пропорциональной зависимости. При k = 0, у = b, такая функция называется постоянной функцией.

Графиком линейной функции является прямая линия. Здесь к называется угловым коэффициентом.

При к < 0 прямая линия с положительным направлением оси ОХ образует тупой угол, при к > 0 острый угол.

График функции у = кх + b располагается в:
1) I, II и III четвертях, если к > 0, b > 0;
2) I, III и IV четвертях, если к > 0, b < 0;
3) I, II и IV четвертях, если к < 0, b > 0;
4) II, III и IV четвертях, если к < 0, b < 0.

График функции у = кх + b проходит через точку (0; b). Прямая у = b проходящая через точку (0; b), является прямой, параллельной оси ОХ; прямая х = а, проходящая через точку (а; 0), является прямой, параллельной оси ОУ.

Если вместо х взять любое число, умножить его на заданное число к и сложить полученный результат с заданным числом b, получаем определённое число. Следовательно, областью определения линейной функции является всё множество чисел.

Поскольку для произвольного числа х значение выражения кх + b будет произвольным числом, то множеством значений функции у = кх + b будет всё множество чисел.