4.9. Признаки параллельности прямых
Деятельность

1. Начертите параллельные прямые a и b и пересекающую их прямую c.

2. Охарактеризуйте углы, образованные в результате пересечения параллельных прямых a и b секущей c (рис. 1).
3. Измерьте транспортиром . Какой результат вы получили? Как называются эти углы?
4. Измерьте транспортиром . Какой результат вы получили? Как называются эти углы?
5. Измерьте транспортиром . Назовите результат. Как называются эти углы? Что вы можете сказать о сумме градусных величин ?
6. Определите градусную меру . Какой результат вы получили?
7. Выскажите своё мнение об углах, образованных в результате пересечения прямых a и b секущей c.

Теорема Признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Условие теоремы: Две прямые a и b пересекаются третьей прямой MN и образовавшиеся накрест лежащие внутренние углы равны:

Утверждение теоремы: прямые a и b параллельны: a || b (рисунок 2).
Доказательство теоремы: Как известно, на плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны друг другу. Предположим, что прямые a и b пересекаются в любой точке А (рис. 3) и AMN - треугольник. Секущая MN делит плоскость на две полуплоскости. Треугольник AMN расположен в одной из полуплоскостей. На другой полуплоскости построим треугольник BMN, равный треугольнику AMN. Согласно условию, Тогда сторона ВМ расположена на прямой a, сторона BN - на прямой b. Следовательно, точка В - вторая точка пересечения прямых a и b. Поскольку две прямые не могут пересекаться в двух точках, наше предположение неверно. Следовательно, прямые a и b параллельные a || b.
Теорема доказана.