5.14. Внешний угол треугольника и его свойство
Деятельность

1. Начертите угол BCD, смежный углу АСВ произвольного треугольника АВС.

2. Как называются углы ACB и BCD? Чему равна сумма этих углов (рис. 1)?
3. Если ACB = 60° чему будет равен BCD? Как вы это определили?
4. Определите, чему будет равна градусная мера A + B согласно внутренним углам треугольника.
5. Какую связь вы выявили между A + B и BCD?

Угол, являющийся смежным к внутреннему углу треугольника, называется внешним углом треугольника при той же вершине. При каждой вершине треугольника есть два внешних угла (рис. 2).

Теорема Свойство внешнего угла треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних несмежных с ним углов треугольника.
Условие теоремы: B ΔABC A, B, ACB внутренние, BCD - внешний углы.

Утверждение теоремы: BCD = A + B ((рисунок 3).
Доказательство теоремы: Согласно теореме о сумме внутренних углов треугольника 1 + 2 + 3 = 180°. С другой стороны, поскольку углы 3 и 4 смежные, то
3 + 4 = 180° и 3 = 180° – 4. Таким образом, 1 + 2 + 180° – 4 = 180° и 1 + 2 = 4.
То есть: BCD = A + B.
Теорема доказана.

Образец

Внешний угол треугольника BCD = 110°, один из внутренних углов не смежных с ним A = 42° (рис. 3). Найдите другие углы треугольника.
Решение: Согласно теореме BCD = A + B.
Тогда: B = BCD – A = 110°– 42° = 68°. Согласно свойству смежных углов:
C = 180° – 110° = 70°.Следовательно, углы треугольника равны 42°, 68°, 70°.
Ответ: B = 68°, C= 70°.