Задачи на исследование

1. Из сосуда, содержащего 100л сока слили 10л и долили 10л воды. Тщательно смешав полученный раствор, снова слили 10л и взамен долили 10л воды. Эту операцию повторили несколько раз. Можно ли таким образом получить раствор в сосуде с содержанием в нём 72,9л сока.

2. а) При каком наибольшем натуральном n число 10! Будет кратно nn ? Здесь
   10! =1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10.
   б) При каком наименьшем натуральном n число 10! не будет кратно nn ?

3. Дроби с числителем 1 называются аликвотными. Например: 1
   2; 1
   5 и т. д.
   а) Сколькими различными способами можно представить с точностью до перестановки слагаемых каждую из дробей 1
   6; 1
   25 в виде суммы двух аликвотных дробей с разными знаменателями?
   б) Определите способ представления аликвотной дроби с точностью до перестановки слагаемых в виде суммы двух аликвотных дробей. Рассмотрите 2 случая: 1) знаменатель дроби - простое число; 2) знаменатель дроби - составное число.
   в) Найдите все натуральные числа n и m, где m нечётное, n — чётное, для которых выполняется равенство 1
   m + 1
   n = 1
   12 .

4. Учитель хочет, чтобы «для совместного выполнения заданий» ученики составили несколько задач. В условии задачи должно учитываться: «Первая бригада выполняет задание за а дней, вторая бригада выполнит это же задание за b дней. За сколько дней они выполнят это задание, если будут работать вместе?» Вместе с тем, учитель желает, чтобы ответ задачи во всех случаях был «24 дня». При условии а > b сколько различных вариантов задач можно составить?

5. Ситуационная задача:

   a) Два друга играют в шашки. Через некоторое время в игре возникает ситуация, когда на доске число чёрных свободных клеток оказалось в 3 раза больше числа клеток занятых шашками, а у одного из мальчиков шашек оказалось на 2 штуки больше, чем у другого. Сколько шашек осталось на доске у каждого мальчика?

   б) Работая в одиночку 4 дня девушка каждый день ткала 3 аршина материи. Пришедшая ей на помощь мать ткала в день 5 аршин материи. Они остановили работу, когда длина каждой сотканной ими материи оказалось одинаковой. Сколько аршин материи они соткали вместе?

   в) Мать раздала орешки всем детям поровну. Четверо из них съели каждый по 12 орешков. В результате у этих четырёх детей вместе осталось столько же орешков, сколько мать дала каждому ребёнку. Сколько орешков раздала мать каждому ребёнку?