1.8. Множества
Переместительное и сочетательное свойства Деятельность

Основываясь на диаграммы Эйлера-Венна (рис. 1):

1. Выпишите элементы множеств: А∪В и В∪А; А∩В и В∩А. Что вы можете сказать об этих множествах?
2. Напишите формулу нахождения числа элементов объединения двух конечных множеств. Определите: n(A), n(B), n(A∩B), n(A∪B).
3. Выпишите элементы множеств: A∪(B∪C)и (A∪B)∪C; A∩(B∩C)и (A∩B)∩C Выскажите свое мнение об этих выражениях.
4. Выпишите элементы множеств: A\B, A\(B∪C), B\(A∩C). Изобразите эти множества на диаграммах Эйлера-Венна.

Свойства действий над множествами

Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

1. A∪B = B∪A и A∩B = B∩A (переместительное свойство);
2. A∪(B∪C) = (A∪B)∪C и A∩(B∩C) = (A∩B)∩C (сочетательное свойство);
3. Если B ⊂ A (т.е. множество В является подмножеством множества А), то A∪B = A, A∩B = B;
4. Если B ⊂ A, то множество B ̀ = A\B называется разностью множества А и В и является дополнением множества В до множества А;
5. A\A = ∅. Разность множества А с самим собой является пустым множеством;
6. A∪∅ =A. Объединение множества А с пустым множеством является множество А. A∩∅ = ∅. Пересечение множества А с пустым множеством является пустым множеством.

Упражнения

1. Найдите число элементов каждого из множеств A = {m, n, l, k, p}и B = {n, p, g, j}. Определите число элементов объединения и пересечения этих множеств. Продемонстрируйте выполнение переместительного свойства.

2. Что вы можете сказать о числе элементов множеств натуральных, целых и рациональных чисел? Какие из них являются подмножествами других множеств? Изобразите их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

3. Для множеств А, C, D, приведённых на рисунке 2, проанализируйте нижеследующее:

   a) A ∩ C; д) A ∩ D;

   б) C ∩ D; e) A ∩ C ∩ D;

   в) n(A), n(C), n(D); ж) A ∪ C;

   г) A ∪ D; з) A ∪ C ∪ D;

   и) элементы, входящие только в множество А;
   й) элементы, входящие только в множество С;
   к) элементы множеств A\D, A\C и D\C.