4.7. Преобразование выражений

На предыдущих уроках вы познакомились с несколькими способами разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, формулы сокращённого умножения. Иногда для разложения многочлена на множители используют все возможные способы. Решим несколько примеров на разложение многочлена на множители с применением разных способов.

Деятельность

Разложите на множители многочлен a4 + ax2 – a2x – x4.
Решение: Подготовка стратегии решения:
Поскольку a4 = (a2)2 и x4 = (x2)2 то сгруппировав первое и четвёртое слагаемое, мы можем разложить на множители как a4 – x4 = (a2)2 – (x2)2 = (a2 – x2)(a2 + x2) Отметим, что так как a2 – x2 = (a – x) (a + x), получим следующее равенство: a4 – x4 = (a – x)(a + x)(a2 + x2).
Сгруппировав второе и третье слагаемое, вынесем общий множитель за скобки: ax2 – a2x = ax (x – a) = – ax(a – x).
Итак, в результате проведённых преобразований в каждой из двух групп мы получили множитель (a – x).
Реализация стратегии решения:

Выражение во вторых скобках запишите в виде многочлена стандартного вида:

(a + x)(a2 + x2) – ax = a3 + ax2 +a2x + x3 – ax.

В результате получим следующее выражение:

a4 + ax2 – a2x – x4 = (a – x)( a3 + ax2 +a2x + x3 – ax).

Деятельность

Пример: Разложите многочлен x4 + x2y + xy3 + 2xy 2 + y3 на множители.
Решение:
Подготовка стратегии решения:
Заметим, что участвующее в многочлене слагаемое 2xy2 есть удвоенное произведение одночленов x и y2. Если бы в нашем примере были слагаемые x2 и y4, то мы смогли бы применить формулу квадрата суммы. Но здесь эти слагаемые не участвуют.