Периодические десятичные дроби бывают двух видов: 1) чистые периодические десятичные дроби; 2) смешанные периодические десятичные дроби.

Чистой периодической десятичной дробью называется десятичная дробь, в записи которой сразу после запятой следует период. Например: 2,(5); 0,(37); 12,(524) и т.д.

Смешанной периодической десятичной дробью называется десятичная дробь, в записи которой после запятой через одну или несколько цифр начинается период. Например: 8,7(5); 0,02(63); 4,0(172) и т.д.

3,25(7) - читаем: три целых двадцать пять сотых семь в периоде.

Если разложение обыкновенной несократимой дроби на простые множители состоит только из 2 или 5, то такая дробь обращается в конечную десятичную дробь.

Если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители, кроме 2 и 5, появляются другие простые множители, то такая дробь при преобразовании в десятичную дробь становится периодической десятичной дробью.

Конечные десятичные дроби: 5
16 = 0,3125; 72
25 = 2,88; 19
50 = 0,38; 13
20 = 0,65.

Периодические десятичные дроби: 1
6 = 0,1(6); 5
12 = 0,41(6); 9
26 = 0,3(461538).

Упражнения

1. Запишите данные дроби в виде десятичной дроби. Предварительно определите, какие десятичные дроби будут являться конечными и какие периодическими

2. Для множества А={3,4; 0,(7); 2,003; 5,333...; 32,(56); 0,444; 6,98(3); 0,(345); 11,43(12); 0,5; 8,111; 2,0(7)} составьте подмножества, элементами которых являются: а) периодические десятичные дроби; б) чистые периодические десятичные дроби; в) смешанные периодические десятичные дроби.

3. Напишите несколько периодических десятичных дробей с помощью цифр 0,1,2,4,8. Выделите чистые и смешанные периодические десятичные дроби.

4. Исследуйте данные периодические десятичные дроби так, как показано в таблице:

   0,777... ; 0,54222... ; 9,8101010... ; 3023,555... ; 29,00787878... ; 8,0020202... ; 0,191919... ; 3,678678678... ; 0,73827382...

   Число | Краткая запись | Целая часть | Повторяющаяся группа цифр | Цифры перед периодом | Количество цифр в периоде | Количество цифр перед периодом
   1,090909... | 1,(09) | 1 | 09 | - | 2 | 0
   78,12666... | 78,12(6) | 78 | 6 | 12 | 1 | 2