5.7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Деятельность ax + by = c

1. Прибавьте к каждой стороне равенства, заданного формулой у = -Зх + 2, одночлен Зх. Какое равенство вы получили? Сколько переменных участвует в этом равенстве?
2. Как вы назовёте уравнение Зх + у = 2? Если в этом уравнении х = 0, то какое значение получит у? А если у = -4, то чему будет равна переменная х?

Уравнение типа ах + bу = с, в котором а, b и с - являются заданными числами а, х и у - переменными называется линейным уравнением с двумя переменными.
Например, в уравнении 2x – 3y = 5 a = 2, b = – 3, c = 5.
Корнем уравнения с двумя переменными называется такая пара их значений, которая обращает это уравнение в верное равенство. Уравнения, имеющие одинаковое множество решений, называются равносильными уравнениями.

Свойство 1. Если в уравнении к каждой стороне равенства прибавить или вычесть одно и то же число, получится равносильное уравнение.

Свойство 2. Если в уравнении каждую сторону равенства умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, получится равносильное ему уравнение.

Образец

1) В уравнении 5x – 2y = 8 переменную y выразите через x.
Решение: Из каждой стороны равенства вычтем 5x:
5x – 2y – 5x = 8 – 5x.
Каждую сторону равенства – 2y = 8 – 5x поделим на (– 2): y = – 4 + 2,5x. Это равенство и есть выражение у через х.
Согласно свойствам 1 и 2, уравнения 5x – 2y = 8 и y = – 4 + 2,5x равносильные.
2) В уравнении 5x – 2y = 8 переменную x выразите через y.
Решение: к каждой стороне равенства прибавьте 2y:
5x – 2y + 2y = 8 + 2y
Каждую сторону равенства 5x = 8 + 2y разделим на 5:
x = 8+2y
5 или x = 8
5 + 2y
5 - это равенство есть выражение x через у.
Согласно свойствам 1 и 2, уравнения 5x – 2y = 8 и x = 8
5 + 2y
5 равносильные.
3) Какая пара чисел является корнем уравнения 5x – 2y = 8?
Решение: Если в уравнении 5х - 2у = 8 принять х = 1, то 5⋅1 - 2у = 8 и у = - 1,5. Следовательно, пара (1; -1,5) - корень уравнения 5х - 2у = 8.
Поскольку каждому значению х соответствует какое-то значение у, то любая пара (x; y), преобразующая уравнение в верное равенство, является корнем уравнения.