4.2. Разложение на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
Деятельность

1. Проанализируйте, квадрат какого двучлена изображён на моделях.
2. Опираясь на модель, запишите трёхчлены в виде квадрата двучленов.

3. Записав многочлен x2 + 4x + 4 в виде x2 + 2x +2x + 4, разложите его на множители способом группировки.

4. Определите, раскрытием квадрата какого двучлена является запись x2 + 4x + 4 = x2 + 2 ∙ 2 ∙ x + 22. Как можно таким же способом разложить на множители многочлен x2 – 6x + 9? Обоснуйте свой ответ.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений используется не только для возведения в квадрат двучленов. С помощью этих формул можно разложить на множители и трёхчлен:

a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 a2 + b2 –2ab = (a – b)2

Из равенств следует, что трёхчлен a2 + b2 + 2ab можно представить в виде произведения (a + b)(a + b), трёхчлен a2 + b2 – 2ab - в виде произведения (a – b)(a – b).

Образец

Разложите на множители трёхчлен a2 – 20ab2 + 100b4.

Решение:
Первое слагаемое - квадрат а, третье же слагаемое - квадрат 10b2. Второй одночлен равен удвоенному произведению a и 10b2. Тогда согласно формуле квадрата разности двух выражений: