4.5. Разложение на множители суммы кубов двух выражений
Деятельность

1. В тождестве a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+ b)3 вынесите за скобки общий множитель выделенных одночленов и полученное выражение перенесите в правую сторону равенства. Какое тождество вы получили?

   a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

2. В правой стороне тождества множитель (a + b) вынесите за пределы скобок. Какое выражение вы получили?

   a3 + b3 = (a + b) ((a + b)2 – 3ab)

3. Упростите вторую скобку. Какое выражение вы получили? На какие множители разложилось выражение a3 + b3? Постарайтесь высказать своё мнение о выражении во вторых скобках с правой стороны тождества.

Трёхчлен a2 – 2ab + b2 называется полным квадратом двучлена (a – b), трёхчлен a2 + 2ab + b2 - полным квадратом двучлена (a+ b). Трёхчлен a2 – ab + b2 является неполным квадратом двучлена (a – b). Так же трёхчлен a2 + ab + b2 - неполный квадрат (a+ b).

Формула суммы кубов двух выражений.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений с неполным квадратом их разности:

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Образец
1) Выражение 8a3 + 27b3 разложите на множители.
Решение:
2) Преобразуйте произведение (x + 4y)(x2 – 4xy + 16y2) в многочлен.
Решение: Как видно из выражения, первый множитель —(x + 4y), второй множитель же неполный квадрат двучлена (x – 4y). Тогда по формуле суммы кубов запишем:

(x + 4y)(x2 – 4xy + 16y2) = x3 + (4y)3 = x3 + 64y3.

Упражнения

1. Дополните таблицу. Объясните, как изменяются степень и коэффициент.