а) Найдите число сторон выпуклого многоугольника, у которого число
диагоналей в 2 раза больше числа сторон.
b) Число диагоналей в 6 раз больше числа сторон. Сколько диагоналей
выходят из одной вершины этого выпуклого многоугольника ?
Исследование 1. Заполните нижеприведенную таблицу. Напишите формулу для вычисления суммы внутренних углов выпуклого n- угольника.
Количество сторон многоугольника |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... | n |
Диагонали, исходящие из одной вершины |
0 | 1 | ... | ||||
Количество треугольников | 1 | 2 | |||||
Сумма внутренних углов | 1⋅180° 180° |
2⋅180° 360° |
Исследование 2. На листе бумаги нарисуйте выпуклый многоугольник, закрасив внешний угол при каждой вершине, как показано на рисунке. Вырежьте внешние углы и приклейте на другую бумагу так, чтобы, не прикрывая друг друга, все вершины были в одной точке. Выразите свое мнение о сумме всех внешних углов.
Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника
Теорема 1. Сумма внутренних углов выпуклого n ‐ угольника (n ≥ 3) равна 180° • (n - 2) .
Доказательство: Теорема верна при n=3. Рассмотрим случай n>3, из
одной вершины n – угольника можно провести диагонали в количестве
n – 3. Эти диагонали делят его на треугольники в количестве n – 2. Сумма
внутренних углов многоугольника равна сумме углов треугольников. Исходя
из того, что сумма углов каждого треугольника 180°, сумма внутренних
углов многоугольника будет 180° • (n - 2).
Следствие: Каждый внутренний угол правильного n ‐ угольника равен
180° • (n - 2)
n
Теорема 2. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.
Сумма внешних углов = сумма развернутых углов - сумма
внутренних углов:
180°⋅n -180°(n - 2) = 180°n - 180°n + 360° = 360°
Следствие 2. Каждый внешний угол правильного n- угольника
равен 360°
n.