6-2 |
Вписанные и описанные многоугольники |
Определение 1. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности, а окружность называется описанной около многоугольника. На рисунке треугольник ΔABC вписан в окружность.
Определение 2. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности, а окружность называется вписанной в многоугольник. На рисунке четырехугольник DEFH описан около окружности.
Вписанные и описанные треугольники
Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.
Теорема 2. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Теорема 3. Если в окружность вписан прямоугольный треугольник,
то гипотенуза является диаметром этой окружности.
Обратная теорема. Если сторона треугольника, вписанного
в окружность, является диаметром, то этот треугольник-прямоугольный.
Доказательство 1-й теоремы (текстовое). Проведем перпендикуляры OT1, OT2, OT3 к сторонам из точки О, являющейся пересечением биссектрис ∠A и ∠B треугольника ΔABC. Исходя из того, что произвольная точка, взятая на биссектрисе, находится на одинаковом расстоянии от сторон угла, получим OT1 = OT2 и OT2= OT3. Точка О находится и на биссектрисе угла ∠C (почему?). Нарисуем окружность с центром в точке O и радиусом r = OT1. Так как стороны треугольника перпендикулярны радиусам OT1, OT2, OT3, то в точках T1, T2, T3 они касаются окружности. Значит, эта окружность является вписанной в треугольник.
Доказательство 2-й
теоремы. Через середины сторон
AB и AC треугольника ABC проведем перпендикуляры
и точку их пересечения обозначим буквой O.
По свойству серединного перпендикуляра к отрезку:
OA = OB = OC. Так как ΔAОC равнобедренный, то точка
О находится и на серединном перпендикуляре стороны
AC. Окружность с центром в точке O и радиусом
R = AO, пройдя через все три вершины
треугольника, будет описанной около него.