Свойство четырехугольников, вписанных
в окружность и описанных около нее
В отличие от треугольников, не во всякий четырехугольник можно вписать или описать около него окружность.
Теорема 4. В любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны:
AB + CD = BC + AD
Обратная теорема. Если суммы противоположных сторон
четырехугольника равны, то в этот четырехугольник
можно вписать окружность.
Теорема 5. Сумма двух противоположных углов четырехугольника,
вписанного в окружность, равна 180°.
∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
Обратная теорема. Если сумма противоположных углов
четырехугольника равна 180°, то около этого четырехугольника
можно описать окружность.
Доказательство теоремы 4: Пусть точки K, L, M, N будут точками касания сторон четырехугольника. По свойству касательных, проведенных из данной точки к окружности,
AK = AN, BK = BL, CM = CL, DM = DN.
Если сложить почленно эти равенства, получим:
AK + BK + CM + DM = AN + BL + CL + DN
или же
AB + CD = BC + AD.
Обучающие задания