Практическое задание.
1. Нарисуйте квадрат ABCD в тетради и обозначьте
точку пересечения диагоналей через О.
2. Нарисуйте окружность, проходящую через вершины
квадрата, установив кончик циркуля в точке О. Выразите
радиус (R) этой окружности через сторону (a)
квадрата:
3. Нарисуйте окружность, касающуюся сторон квадрата,
установив кончик циркуля в точке О. Выразите
радиус этой окружности через сторону квадрата: r = a
2
Исследование. Точка пересечения диагоналей квадрата является центром как вписанной так и описанной окружности. Можно ли начертить окружность, описанную и вписанную в любой правильный многоугольник?
Вписанные и описанные правильные многоугольники
В любой правильный многоугольник можно вписать и описать окружность. Центры этих окружностей совпадут. Пусть О - точка пересечения биссектрис углов из соседних вершин A и B. ΔAOB равнобедренный. Соединим точку О
с остальными вершинами многоугольника. Полученные
при этом треугольники (ΔBOC, ΔAON и т.д) конгруэнтны
к ΔAOB по признаку СУС. Отсюда следует,
что OC, NO и т.д также являются биссектрисами. Нарисуем
окружность радиусом OA с центром в точке
O. Эта окружность, пройдя через все вершины, будет
описанной окружностью. A окружность с радиусом
OH, касаясь всех сторон многоугольника, будет вписанной окружностью.
R-радиус
окружности, описанной около правильного n-угольника,
r-радиус
вписанной окружности, a-сторона
правильного n-угольника,
∠AOB = 360°
n - центральный
угол
Поскольку OA = R, OH = r, AH = a
2, ∠AOH = 180°
n по определению
синуса, тангенса острого угла в ΔAOH получим: