Исследование. Мяч, ударяясь о землю
первый раз, поднимается на высоту 3 м. В
каждый последующий раз поднимается
на высоту, равную 60%-ам
предыдущей
высоты. График показывает зависимость
между количеством ударов о землю и высотой
мяча.
1) Высоты, на которые поднимается мяч,
обозначьте через h1, h2, h3, h4,
... . Выразите высоту, на которую поднимается
мяч каждый раз через высоту, после первого удара о землю.
2) На какую высоту поднимется мяч после 8-го
удара о землю?
3) Объясните возможность применения формулы
hn = 3⋅( 0,6)n-1 для нахождения
высоты поднявшегося мяча после n-го
падения на землю.
9-3 |
Геометрическая прогрессия |
Определение. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
То есть если для любого натурального числа n, будет выполнено условие: bn ≠ 0 и bn+1 = bn · q, то последовательность (bn)
будет геометрической прогрессией.
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия символически обозначается ∺(bn). Формула bn+1 = bn · q является представлением геометрической прогрессии по рекуррентному
правилу. Из определения следует, что для любого натурального числа n, справедливо равенство: q = bn+1
bn. В частности, q = b2
b1 = b3
b2 = b4
b3 = .....
При q > 0, члены геометрической прогрессии имеют одинаковый знак.
При q < 0 знаки членов прогрессии чередуются.
При q = 1 получается стационарная последовательность.
1. Пример. a) Если b1 = 2, q = 3, то получится геометрическая прогрессия 2; 6; 18; 54; 162 ...; b) Если b1 = 3, q = -2, то получится геометрическая прогрессия 3; -6; 12; -24; 48; ... .
2. Пример. Какая из данных числовых последовательностей геометрическая
прогрессия?
a) 4; 12; 22; 34; 48. b) 625; 125; 25; 5; 1.
Решение. Отношение каждого члена геометрической прогрессии на предыдущий
всегда остается постоянной. Проверим это условие для обеих прогрессий.
Условие выпол няется, это пос ледователь ность геометрическая прогрессия.