Исследование. Зная, что геометрическая прогрессия задается рекуррентным отношением bn+1 = bn • q, заполните пустые клетки в таблице.
К какому выводу вы пришли?
На какую степень q нужно умножить b1, чтобы получить b5?
Какую связь вы видите между показателем степени q и индексами b5 и b1?
Как вы думаете, на какую степень q надо умножить b1, чтобы получить b8?
Формула n‐го члена геометрической прогрессии
В геометрической прогрессии для bn верно равенство bn = b1 · qn -1 Это выражение
называется формулой n‐го члена геометрической прогрессии.
n‐ый член геометрической прогрессии можно найти следующим способом.
По определению можно писать равенства:
Если перемножить почленно эти (n –1) равенства, получим:
b2 · b3 · b4 · ..... ·bn–1 · bn =
b1 · b2 · b3 ·..... · bn–1 · qn–1
.
Сократив одинаковые члены в левой и правой частях, получим формулу
bn = b1 · qn-1
Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно знать его первый член и знаменатель.
1. Пример. В геометрической прогрессии b1 = 3, q = 2, найдите b4 и b7.
Решение. b4 = b1 · q3 = 3 · 23 = 24, b7 = b1 · q6 = 3· 26 = 192
Примечание. Можно было бы вычислить следующем способом
b7 = b1 · q6 = b1 · q3 · q3 = b4 · q3 = 24 · 23 = 192
Для членов геометрической прогрессии
верно равенство,
bn = b1 · qn–1 = b1 · qk–1 · qn–k = bk · qn–k ,
или же bn = bk · qn–k ,
2. Пример. Найдите b7, если в геометрической прогрессии b2 = 4; b5 = 32.
Решение. Поскольку b5 = b2 · q3, отсюда q3 = b5
b2 = 32
4 = 8, q = 2 и
b7 = b5 · q2 = 32 · 22 = 128