Пермутации перестановки. nPn
В некоторых случаях требуется найти число возможных вариантов по порядку
расположения элементов, входящих во множество. Например,
сколько трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить
из цифр 1, 2, 3?
123, 132, 213, 231, 312, 321. Здесь каждое расположение называется пермутацией
(перестановкой). Первый элемент можно выбрать из 3х
элементного
множества тремя способами; 2ой
элемент из оставшегося 2х
элементного множества двумя способами; 3ий
элемент можно выбрать
из одноэлементного множества одним способом. Тогда, по принципу
умножения, число всех возможных перестановок будет 3 • 2 • 1 = 6.
Различные упорядоченные множества, которые отличаются только порядком расположения своих элементов называются пермутациями (перестановками) рассматриваемого множества и их число обозначается как nPn, и читается как “пермутация из n элементов по n”.
Первый элемент пермутации можно выбрать из n‐ элементного множества n способами; 2ой элемент из оставшегося (n – 1) элементного множества (n – 1) способами, 3ий элемент из оставшегося (n – 2) элементного множества (n – 2) способами и .т.д. Наконец, n‐ый (последний) элемент можно выбрать одним способом. Тогда число всех пермутаций по принципу умножения будет: nPn = n(n -1)(n - 2) • ... • 2 • 1.
Произведение первых n натуральных чисел пишется n! и читается как “эн
факториал”. Таким образом число всевозможных пермутаций находится
по формуле nPn = n!.
Здесь
n! = n • (n - 1) • (n - 2)• ... • 2 • 1
В частности, 1! = 1, 2! = 2 • 1= 2, 3! = 3 • 2 • 1= 6.... и.т.п. Принято, что 0! = 1.
При вычислениях так же удобно пользоваться формулами:
(n + 1)! = (n + 1) • n! и (n + 2)! = (n + 2) • (n + 1)•n!
Например,
Пример Сколькими способами можно построить в ряд 5 человек?
Решение. Поскольку n = 5, то число возможных вариантов будет:
5P5 = 5!= 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120
Обучающие заданияı