В любой пермутации данного множества при перестановке между собой
одинаковых k элементов k! раз не происходит никакой другой пермутации.
Значит в этом случае число пермутаций уменьшается в k! раз.
Если в n‐элементном повторяющемся множестве имеется k видов элементов
и из них количество 1-го
вида равно n1; 2-го
вида n2; 3-го - n3, наконец
k-го
вида nk, тогда число возможных пермутаций, будучи:
n1 + n2 + n3 + ... + nk = n вычисляется как P(n1, n2, ..., nK ) = n!
n1! • n2! • n3! • ... • nk!
Обучающие задания
Пермутации - Размещения, nPk
Задача. В группе 8 учеников. Сколькими способами можно выбрать председателя
группы и редактора?
Решение. a) Председателя группы можно выбрать из 8-ми
учеников 8-ю
разными способами; после того как выбрали председателя группы, редактора
выбирают из оставшихся 7-и
учеников 7-ю
разными способами. По
правилу умножения число различных выборов 8 • 7 = 56.
Если закодировать учеников буквами a, b, c, d, e, f, g, h то выбор последовательностью
ab отличается от выбора последовательностью ba. В первом
случае a выбран председателем, а b редактором.
А во втором случае наоборот,
b выбран председателем, а a редактором.
В рассматриваемой задаче необходимо найти количество двухэлементных
подмножеств 8-ми
элементного множества, которые различаются или элементом,
или порядком их расположения. Упорядоченные (т.е. различающихся
либо элементом, либо порядком их расположения) k - элементные
подмножества данного множества, содержащего n элементов, называют
размещениями (пермутациями) из n элементов по k. Их число обозначается
как nPk и читается как “пермутация из n элементов по k”. Из n-элементного
множества выбрав “k” элементов, построим их последовательно в ряд.