Комбинезон, nCk
Пример. Пример. Для презентации проекта группа из 7 членов
должна выбрать
троих. Сколькими различными способами могут это сделать члены
группы?
Решение. Неважно, в какой последовательности будут выбраны трое. Например,
если мы закодируем студентов по буквам из их имен, то
abc не отличается
от cab и показывает один и тот же состав. Если выбрать любых трех
учеников, построить их в ряд в той последовательности, в которой они были
выбраны, то число всех возможных случаев будет
7P3. Так как при перестановке
3! способами мест в ряду выбранных трех учеников полученные различные
пермутации показывают одинаковый состав, то число различных
выборов будет в 3! раза меньше, т.е.:
7P3
3! = 7 · 6 · 5
1 · 2 · 3
= 35
Всевозможная комбинация из “n” элементов множества по “k” элементов в каждой без учета их порядка расположения называется комбинезоном. Комбинезоны отличаются друг от друга только элементом. Каждое из различных к - элементных подмножеств n ‐ элементного множества называется сочетанием (комбинизоном) из n элементов по k. Их число обозначается nCk и читается как “комбинезон из n элементов по k”. Если от каждого k-элементного комбинезона образуются k! пермутации, то количество общих пермутаций будет nPk. По принципу умножения имеем nPk = nCk · k! Значит,
Формулу нахождения общего числа комбинезонов можно написать в виде:
nCk = n!
(n – k)! · k!
Обратите внимание на своеобразную симметрию этой формулы. Если заменить
k на (n – k), то получится та же формула. Только факториалы в знаменателе
поменяются местами:
nCk = nCn – k .
Легко показать, что
nC0 = 1, nCn = 1, nC1 = n.
Обучающие задания