Исследование функции y = ax2 + bx + c
Свойства квадратичной функции y = ax2 + bx + c исследуем на
графике.
- При a > 0 ветви параболы, являющейся графиком квадратичной функции,
направлены вверх, при a< 0 - вниз.
- Точка вершины параболы (m; n).
Здесь m = -b
2a, n = -D
4a, D = b2 - 4ac
- Уравнение оси симметрии: x = - b
2a.
- Парабола пересекается с осью ординат в точке (0; c).
- Число точек пересечения параболы с осью абсцисс зависит от знака
дискриминанта (D = b2 – 4ac) уравнения ax2 + bx + c = 0;
при D > 0 парабола пересекает ось абсцисс в двух точках;
при D = 0 парабола имеет с осью абсцисс одну общую точку, и эта точка является
ее вершиной.
при D < 0 парабола не имеет общей точки с осью абсцисс.
- Значение ординаты ( т.е. n) точки вершины при a > 0 будет наименьшим
значением (НмЗ) функции, а при a < 0 будет наибольшим значением (НбЗ)
функции. Эти значения также называются максимальными и минимальными
значениями функции.
Областью определения квадратичной функции является множество всех
действительных чисел. Значения, принимаемые функцией (у), образуют
множество значений функции.
Множеством значений функции y = ax2 + bx + c при
a > 0 является (-∞;
n], а при a > 0 множество [n; +∞), здесь n ордината вершины параболы.
Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке,
если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует
большее (меньшее) значение функции.
При a > 0 функция y = ax
2 + bx + c
убывает в промежутке (-∞; -
b
2a]
а в промежутке [-
b
2a; +∞)
возрастает.
При a < 0 функция y = ax
2 + bx + c
возрастает в промежутке (-∞; -
b
2a],
а в
промежутке [-
b
2a; +∞)
убывает.