4-2 |
Уравнение окружности |
Используя формулу расстояния между двумя точками, можно написать уравнение окружности с радиусом r и с центром О (0;0) в начале координат. Расстояние между центром окружности (0; 0) и ее любой точкой N (x; y) находится по формуле: NO = . С другой стороны, так как NO = r , написав равенство , возведением в квадрат обеих сторон , получим: x2 + y2 = r2.
Координаты любой точки
окружности удовлетворяют этому уравнению и, наоборот,
координаты точки, удовлетворяющей этому уравнению,
находятся на окружности. Таким образом,
получим уравнение окружности с центром в начале
координат и радиусом r : x2 + y2 = r2
Например, уравнение окружности с центром в начале координат (0; 0) и
радиусом 2 имеет вид:
x2 + y2 = 4.
Рассмотрим общий случай.
По формуле расстояния между центром окружности M (a; b) и любой точкой N (x; y) на окружности радиуса r имеем:
Возведя в квадрат обе части, получаем уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r:
Например, уравнение окружности с центром в точке (3; 2) и радиусом 4
имеет вид:
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 16
1. Пример. Постройте на координатной плоскости окружность, заданную уравнением y2= 25 - x2.
Решение. Напишем уравнение в виде x2 + y2 = 52.
Как видно, r = 5.
Отметим 4 точки, находящиеся на расстоянии
5 единиц от начала координат, например, (5; 0),
(–5; 0), (0; 5), (0; –5). Проведем окружность через
эти точки.
2. Пример. Точка A(2; 3) находится на окружности, центром которой является
начало координат. Напишите уравнение этой окружности.
Решение. Записав координаты точки A в уравнении x2 + y2 =
r2, получим:
22 + 32 = r2, r2 = 13.
Значит, уравнение этой окружности имеет вид: x2 + y2 = 13.